МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В ящике лежат 20 красных и 20 синих носков. Какое наименьшее количество носков нужно достать не глядя из этого ящика, чтобы среди них наверняка оказались два а) одноцветных; б) красных носка?
 

Подберите натуральные числа х, у и z так, чтобы выполнялось равенство 28x + 30y + 31z = 365.
 

Кузнечик может прыгать по плоскости в любом направлении, но длина каждого его прыжка — 1 метр. Может ли он из точки A попасть в точку B, если расстояние между A и B равно 100 м 13 см?
 

Имеется клетчатая доска размером а) 10×10; б) 11×11. Играют двое. За один ход разрешено в любом столбце или в любой строке закрасить сколько угодно стоящих подряд незакрашенных клеток. Проигрывает тот, кто не может сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть?
 

В одной из трёх шкатулок — золотой, серебряной или бронзовой — лежит ключ. На шкатулках сделаны надписи. На золотой: «Ключ не в этой шкатулке». На серебряной: «Ключ не в бронзовой шкатулке». На бронзовой: «Ключ в золотой шкатулке». Из этих надписей только одна верная. Где лежит ключ?
 

Из клетчатой доски 4×4 вырезали угловую клетку. Разрежьте полученную фигуру на три одинаковые части.

Дополнительные задачи

Прямая окрашена в два цвета. Докажите, что на этой прямой найдется отрезок, у которого и концы, и середина окрашены в один и тот же цвет.
 

Николай с сыном и Пётр с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько и его сын, а Пётр — втрое больше, чем его сын. Всего было поймано 25 рыб. Как зовут сына Петра?