МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 20 (12 апреля 1997)

Задача 20.1. Поезд двигался в одном направлении 5,5 часов. Известно, что за любой отрезок времени длительностью в один час он проезжал ровно 100 км. Верно ли, что
а) поезд ехал равномерно?
б) средняя скорость поезда равна 100 км/ч?

Задача 20.2. С помощью циркуля и линейки разделите отрезок пополам.

Задача 20.3.
а) С помощью циркуля и линейки постройте отрезок в два раза длиннее данного.
б) Пользуясь только циркулем, постройте три точки, лежащие на одной прямой.

Задача 20.4.
а) С помощью циркуля и линейки разделите данный угол на две равные части.
б) С помощью циркуля и линейки разделите угол величиной в 54^o на три равные части.

Задача 20.5. Петя нарисовал 5 рисунков. На каждом рисунке он изобразил несколько прямых и отметил все точки пересечения этих прямых друг с другом. В результате на первом рисунке он отметил всего 1 точку, на втором - 2, на третьем - 3, на четвертом - 4 и на пятом - 5.
а) Про какой из рисунков можно наверняка сказать, сколько на нём проведено прямых?
б) Можно ли про какой-нибудь из остальных рисунков наверняка сказать, сколько на нём прямых?

Дополнительные задачи

Задача 20.6. В лесу все деревья выше 10 и ниже 50 метров, и расстояние между каждыми двумя деревьями не больше разности их высот. Докажите, что можно, начиная от какого-нибудь дерева, обойти все остальные деревья и вернуться обратно, пройдя не более 80 метров.

Задача 20.7.^* Планетная система Ух-ты состоит из 9 планет, каждая из которых обитаема. С незапамятных времен все планеты жили дружно. Но после того, как в Ух-ты побывали космические пираты Весельчак и Глот, некоторые планеты разорвали дипломатические отношения. Однако среди любых 4-х планет какие-то 2 по-прежнему дружат между собой.

Системе Ух-ты угрожает вторжение сумчатых бегемотов, противостоять которому могут только обьединенные силы 3-х планет. Докажите, что сумчатым бегемотам не одолеть систему Ух-ты.