МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 16 (15 марта 1997)

Задача 16.1. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Космолёты летают по следующим маршрутам: Земля-Меркурий, Плутон-Венера, Земля-Плутон, Плутон-Меркурий, Меркурий-Венера, Уран-Нептун, Юпитер-Марс, Нептун-Сатурн, Марс-Уран, Сатурн-Юпитер. Можно ли добраться с Земли до Марса?

Задача 16.2. Картонный прямоугольник площади 1 разрезали на две части по отрезку, соединяющему середины его двух соседних сторон. Найдите площади этих частей.

Задача 16.3.
а) Идёт Петя, а навстречу ему 5 человек. Докажите, что среди них найдутся либо 3 человека, знакомых с Петей, либо 3 человека, незнакомых с Петей.
б) Докажите, что в любой компании из 6 человек найдутся либо 3 попарно знакомых, либо 3 попарно незнакомых человека.
в) А если в компании всего 5 человек?

Задача 16.4. В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано по натуральному числу так, что каждое число равно среднему арифметическому четырёх соседних чисел - верхнего, нижнего, правого и левого. Докажите, что все эти числа равны между собой.

Задача 16.5. Имеется цепочка из n сосисок. Два кота по очереди перегызают по одной перемычке между сосисками и съедают образовавшиеся одиночные сосиски. Выигрывает тот, кто съест больше сосисок. Может ли один из котов обеспечить себе победу, и если может, то как, если
а) n=4;
б) n=5;
в) n=6;
г) n=7;
д) n=8;
е)^* n - любое натуральное число?

Дополнительные задачи

Задача 16.6. Натуральные числа a и b таковы, что 34a=43b. Докажите, что число a+b составное (т. е. делится на какое-то натуральное число, не равное 1 и a+b).

Задача 16.7. Круг разделён на 6 секторов, и в них расставлены числа 1, 0, 1, 0, 0, 0 (именно в таком порядке). Разрешается одновременно увеличивать на 1 любые два стоящих рядом числа. Можно ли с помощью таких операций сделать все шесть чисел равными?