МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 19 (5 апреля 1997)

Задача 19.1. Проверяя, что кусок материи имеет форму квадрата, швея перегибает его по каждой диагонали и убеждается, что края каждый раз совпадают. Достаточна ли такая проверка?

Задача 19.2. Из двузначного числа, умноженного на однозначное, вычли однозначное и получили 1. Какие это были числа?

Задача 19.3. Давным-давно барон Мюнхгаузен обнес свои владения забором и нарисовал на карте. Забор изображен замкнутой несамопересекающейся ломаной, внутри которой - владения барона. Барон забыл, входит ли в его владения деревня Гаузеновка. К сожалению, он смог найти лишь обрывок карты, на который попали его дом, деревня Гаузеновка и часть забора, проходящая по этому участку. Выясните, входит ли деревня во владения барона.

Задача 19.4. В прямоугольной таблице расставлены целые числа так, что сумма чисел в каждой строке равна 19 и сумма чисел в каждом столбце равна 19. Докажите, что таблица квадратная.

Задача 19.5.
а) Найдите на земном шаре такую точку, что если, выйдя из неё, пройти 1 км на юг, повернуть, пройти 1 км на восток, ещё раз повернуть и пройти 1 км на север, то снова окажешься в этой точке.
б)^* единственна ли такая точка?

Дополнительные задачи

Задача 19.6. Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике 19×97 ?

Задача 19.7. Раскрасьте плоскость в три цвета так, чтобы каждая прямая оказалась раскрашеной ровно в два цвета.