МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 14 (22 февраля 1997)

Задача 14.1. Дан угол в 36°. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 99°?

Задача 14.2. Много лет каждый день в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно 7 суток, и идут они по одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?

Задача 14.3. На прямой некоторые точки покрасили в синий цвет так. Оказалось, что каждая синяя точка является серединой какого-то отрезка с синими концами. Докажите, что покрасили бесконечно много точек.

Задача 14.4. Сёла A, B и C расположены в вершинах равностороннего треугольника. В селе A живут 100 школьников, в селе B - 200, а в селе C - 300. Где нужно построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое всеми школьниками, было бы как можно меньше?

Задача 14.5.
а) Пусть a и b - два числа, причём a<b$. Докажите, что среднее арифметическое этих чисел не меньше a и не больше b.
б) В вершинах 10-угольника расставлены числа так, что каждое есть среднее арифметическое своих соседей. Докажите, что все они равны.

Дополнительные задачи

Задача 14.6.Передние покрышки автомобиля стираются через 25000 км пути, а задние через 15000 км пути. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно?

Задача 14.7. Дома Хомы и суслика расположены по одну сторону от прямолинейной реки, но дом суслика - на большем расстоянии. Хома предложил соревнование: кто первым из своего дома добежит до реки и вернется назад, получит стручок гороха. Суслик сказал, что это нечестно - ему бежать дальше. Тогда Хома предложил каждому бежать сначала по кратчайшему пути к реке, а затем как можно быстрее возвращаться к дому другого. Будет ли теперь соревнование честным?