МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 15 (1 марта 1997)

Задача 15.1. Человек дал торговцу купюру в 20 долларов и попросил продать шляпу за 10 долларов. У торговца не оказалось мелких денег, и он разменял эту купюру у другого торговца. Человек взял шляпу, 10 долларов сдачи и ушел. В это время другой торговец обнаружил, что купюра в 20 долларов - фальшивая, и потребовал у первого торговца настоящей. Тот заплатил. Какой убыток он понес?

Задача 15.2. На дороге, соединяющей два аула, нет горизонтальных участков. Автобус идёт в гору всегда со скоростью 15 км/ч, а под гору - 30 км/ч. Найдите расстояние между аулами, если известно, что путь туда и обратно автобус проезжает за 4 часа.

Задача 15.3. На прямоугольном куске хлеба лежит кружок сыра. Докажите, что этот бутерброд можно разрезать одним разрезом на два так, чтобы и хлеб, и сыр разделились поровну.

Задача 15.4. На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?

Задача 15.5. На катетах АВ и ВС прямоугольного треугольника АВС построили квадраты АВPQ и ВСSR. Докажите, что длина диагонали АС равна сумме растояния от точки Q до прямой АС и расстояния от точки S до прямой АС.

Дополнительные задачи

Задача 15.6. Можно ли в таблице 5×5 расставить несколько целых чисел так, чтобы сумма чисел в любом столбце равнялась девяти, а в любой строке - десяти?

Задача 15.7. Барон Мюнхгаузен утверждает, что может нарисовать такой многоугольник и точку внутри него, что ни одна из сторон многоугольника не будет видна из неё целиком. Не ошибается ли он? (Многоугольником называется замкнутая несамопересекающаяся ломаная).