МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 3 (19 октября 1996)

Задача 3.1. Сто гномов играли в шашки. Каждый сыграл с каждым по партии.
а) Сколько партий сыграл каждый гном?
б) Сколько всего партий было сыграно?

Задача 3.2. Петя и Вася живут в одном доме и выходят в школу одновременно. Каждый Петин шаг на 10% длиннее Васиного, но Петя делает в минуту шагов на 10% меньше, чем Вася. Кто из них раньше придёт в школу?

Задача 3.3. Кузнечик умеет прыгать вдоль прямой на 6 см и на 8 см. Сможет ли он попасть в точку, расстояние от которой до исходной
а) 1,5 см;
б) 7 см;
в) 4 см?

Задача 3.4. Двое играют на листке размером 8×8 клеток. За ход можно поставить крестик в любую клетку, если в ней и в соседних с ней (по стороне) клетках нет крестиков. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Может ли один из игроков играть так, чтобы всегда выигрывать (как бы ни играл другой)?

Задача 3.5. Улитка ползёт из точки А с постоянной скоростью, поворачивая на 90° в какую-нибудь сторону каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в точку А только через целое число часов.

Дополнительные задачи

Задача 3.6. Две каменные лестницы одинаковой высоты 1 м и с одинаковым основанием 2 м, покрыты дорожками. У первой лестницы 7 ступенек, а у второй - 9. Хватит ли дорожки, покрывающей первую лестницу, для покрытия второй ?

Задача 3.7. Можно ли написать в строчку 5 чисел так, чтобы сумма любых трёх последовательных чисел была больше нуля, а сумма всех чисел - меньше нуля?