МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 17 (22 марта 1997)

Задача 17.1. (Шутка.) Четыре яблока, не разрезая их, нужно разделить между тремя приятелями так, чтобы никто из них не получил больше, чем остальные. Как это сделать?

Задача 17.2.
а) В стране 100 городов; из каждого выходит 4 дороги. Сколько всего дорог?
б) Может ли в стране, в которой из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 городов?
в) Может ли в стране, в которой из каждого города выходит 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Задача 17.3. Петя тратит 1/4 своего времени на школу, 1/5 - на игру в футбол, 1/6 - на телевизор, 1/7 - на решение задач по математике, и 1/3 - на всё остальное. Можно ли так жить?

Задача 17.4. В стране Семёрка 15 городов, каждый из которых соединён дорогами не менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие города).

Задача 17.5.
а) Среди поля проходит прямая дорога, по которой со скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки на поле, из которых можно догнать автобус, если бежать с такой же скоростью.
б)^* Тот же вопрос, но бежать можно со скоростью 5 км/ч.

Дополнительные задачи

Задача 17.6. Белая ладья преследует чёрного слона на доске размером
а) 3×10;
б) 3×1997 клеток
(ходят по очереди по обычным правилам, начинают белые). Как играть ладье, чтобы взять слона?

Задача 17.7. Барон Мюнхгаузен утверждает, что может нарисовать такой многоугольник и точку вне него, что ни одна из сторон многоугольника не будет видна из неё целиком. Не ошибается ли он?