МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ
Кружок 7 класса
1996/1997 учебный год
Занятие 18 (29 марта 1997)
Задача 18.1. Расшифруйте запись умножения: АБ×ВГ=БББ.
Задача 18.2. Точка O лежит внутри треугольника ABC. Докажите, что AO+OC<AB+BC.
Задача 18.3. На плоскости отметили 17 точек и соединили каждые 2 из них цветным отрезком: красным, желтым или зелёным.
Задача 18.4.
а) Рассмотрим любую из этих точек. Докажите, что из неё
выходит не меньше 6 одноцветных отрезков.
б) Докажите, что найдутся 3 точки в вершинах одноцветного треугольника.
Задача 18.5. В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта - ковёр-самолёт. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний - одна, а из всех остальных городов - по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в Дальний (возможно, с пересадками).
Дополнительные задачи
Задача 18.6. 15 журналов лежат на столе, полностью покрывая его. Докажите, что можно убрать 8 из них так, что оставшиеся журналы будут покрывать не менее 7/15 площади стола.
Задача 18.7. Можно ли, сделав несколько ходов конями из исходного положения, изображенного на рис. 1, расположить их так, как показано на рис. 2?