МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 18 (14 марта 2015 года). Чётность

Чётные числа — целые числа, которые делятся на два нацело.

0.

а)

В каких случаях сумма, разность и произведение двух чисел будет чётной? Всё ли так просто с частным?

б)

Докажите, что целые числа являются чётными тогда и только тогда, когда их последняя цифра чётная.

в)

Чётно ли число −130?

1.

Не выполняя никаких арифметических действий, назовите чётность чисел:

а)

1000 − 947·7567·76 + 2015 + 2016;

б)

204·2121 + 5360·7 + 3121 + 6731·81·11·154 − 77 + 87;

в)

(12454651 − 4564645)·(67876 − 59681) + (1163 − 712)·(948 − 8569) + 886541·735 + 1.

2.

Ковбой Билл зашёл в магазин и попросил у продавца моток веревки за 2 доллара и шесть коробков непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Продавец потребовал с него 8 долларов 25 центов, и в ответ на это Билл вытащил револьвер. Тогда продавец пересчитал стоимость покупки и исправил ошибку. Как Билл догадался, что его пытаются обсчитать?

3.

а)

Если сложить все натуральные числа от 1 до 2015, то чётной или нечётной будет сумма?

б)

На доске написано в строку 2015 целых чисел. Обязательно ли можно выбрать одно из них так, что после его стирания сумма оставшихся чисел будет чётной?

4.

а)

Аборигены поймали Кука и просят за него выкуп в 455 рупий пятьюдесятью монетами достоинств 5, 17 или 31 рупия. Можно ли выкупить Кука на таких условиях?

б)

А если бы они хотели получить сумму 910 рупий пятьюдесятью монетами по 10, 34 и 62 рупии?

5.

За круглым столом сидят 30 человек — рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причем у рыцаря этот друг — лжец, а у лжеца этот друг — рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос «Сидит ли рядом с вами ваш друг?» сидевшие через одного ответили «да». Сколько из остальных могли также ответить «да»?

6.

Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых. Фальшивая монета на 1 грамм тяжелее настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить, фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

7.

На доске записано число 123456789. У написанного числа выбираются две соседние цифры, если ни одна из них не равна 0, из каждой цифры вычитается по 1, и выбранные цифры меняются местами (например, из 123456789 можно за одну операцию получить 123436789). Какое наименьшее число может быть получено в результате таких операций?

8*.

В ряду из 2009 гирек вес каждой гирьки составляет целое число граммов и не превышает 1 кг. Веса любых двух соседних гирек отличаются ровно на 1 г, а общий вес всех гирь в граммах является чётным числом. Докажите, что гирьки можно разделить на две кучки, суммы весов в которых равны. 10.