МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 2 (4 октября 2014 года). Взвешивания — II

1.

Купец продолжает бросаться деньгами. У него есть два мешка, и он хочет «измерить» дом — найти, с какого наименьшего этажа мешки начинают рваться. Какое наибольшее число этажей в доме, который он может измерить, если он может сделать не более, чем

а)

3 броска;

б)

4 броска;

в)

7 бросков?

2.

Из четырёх монет одна отличается по весу от остальных (в какую сторону, неизвестно). Можно ли найти её за два взвешивания на чашечных весах без гирь?

3.

На столе в порядке увеличения массы стоят четыре гири. Можно ли, не зная точного веса гирь, положить по одной их все на весы (то есть, сначала на весах будет одна гиря, потом к ней добавится вторая, и т.д.) в таком порядке, чтобы сначала три раза перевешивала левая чашка, а последний раз — правая?

4.

а)

Из 75 монет одна отличается от других по весу. Как за два взвешивания определить, легче или тяжелее других эта монета (находить саму монету не обязательно)?

б)

Тот же вопрос для 101 монеты.

5.

а)

Расставьте 7 звёздочек в таблице 4×4 так, чтобы при вычёркивании любых двух строк и любых двух столбцов в хотя бы одной из невычеркнутых четырёх клеток была звёздочка.

б)

Докажите, что 6 звёздочек так расставить нельзя.

6.

Предложил черт лодырю: «Всякий раз, как перейдешь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне 40 рублей». Трижды перешел лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у него первоначально?