|
Занятие 17. ДЕЛИМОСТЬ И ОСТАТКИ
|
1. | Найдите последнюю цифру числа
100! = 1 · 2 · 3
· ... · 100.
| Ответ Комментарий
| |
|
Комментарий.
Десятичная запись числа 100! оканчивается на 24 нуля.
| | |
| |
2. | У числа из предыдущей задачи
вычислили сумму цифр, у полученной суммы опять вычислили сумму цифр,
и так поступали, пока не получилось однозначное число. Какое?
| Ответ
Указание
| |
|
Указание.
Число даёт при делении на 9 такой же остаток, как и сумма его цифр.
| | |
| |
3. | Докажите, что произведение любых пяти последовательных натуральных чисел делится на 120.
|
Неправильное решение
Указание
Решение
Замечание
|
Неправильное решение. 120 = 2 · 3 · 4 · 5. Хотя бы одно из любых пяти последовательных натуральных чисел делится на 2, хотя бы одно делится на 3, хотя бы одно — на 4,
наконец, одно из пяти последовательных чисел делится на 5.
Таким образом, интересующее произведение делится на 120.
Объяснение. НОК[2,3,4,5] = 60, а не 120.
| |
|
Указание.
120 = 3 · 5 · 8. Числа 3, 5 и 8 попарно взаимно просты, поэтому достаточно решить три независимые задачи: доказать делимость интересущего нас произведения на 3, на 5 и на 8.
| |
|
Решение. Хотя бы одно из любых пяти последовательных натуральных чисел делится на 3. Ровно одно из рассматриваемых пяти чисел делится на 5. Осталось проверить делимость на 8. Для этого достаточно заметить, что среди пяти последовательных натуральных чисел обязательно существуют хотя бы два (соседних, то есть отличающихся на 2) чётных числа. Одно из них делится на 4.
| |
|
Замечание. Для любого натурального m произведение любых m последовательных целых чисел делится на m!. Доказывать это можно разными способами. Можно воспользоваться индукцией. А можно заметить, что число сочетаний из n по m (то есть количество m-элементных подмножеств данного n-элементного множества)
равно частному от деления произведения n · (n – 1) ... (n – m + 1) на m!.
| | |
| |
4. | Числа 100 и 90 разделили на одно и то же число. В первом случае в остатке получили 4,
а во втором — 18. На какое число делили?
| |
5. | Маша начала считать свои пальцы от большого до мизинца. Досчитав до пяти, она продолжила счёт в обратном направлении. Таким образом, большой палец стал девятым. Потом она опять продолжила счёт в обратную сторону. Досчитав до 2003,
она остановила счёт. На каком пальце?
| |
6. | Докажите, что среди произвольных 25 целых чисел существуют два числа, разность которых делится на 24.
| |
7. | а) Найдите наименьшее натуральное число, которое даёт остаток 1 при делении на любое из чисел 2, 4, 6, 8.
б) Найдите следующее по величине число, обладающее этим свойством.
в) Найдите какое-нибудь число, большее 100, обладающее этим же свойством.
| |
8. | Какова последняя цифра числа
3 542 645 · 345 603 + 56 404 · 4 398 718?
| |
9. | Однажды король объявил своим
мудрецам: «Завтра я устрою для вас такое испытание: все мудрецы будут выстроены в ряд один за другим так, что каждый увидит всех, кто стоит впереди, но не увидит стоящих сзади. Каждому наденут на голову колпак красного или зелёного цвета. Потом я спрошу каждого, какого цвета на нём колпак, начиная с последнего мудреца (который видит всех). Если ошибутся хотя бы двое, то все вы будете обвинены в невежестве и отправитесь на перевоспитание к палачу.» Помогите мудрецам!
| Указание
Решение
|
Указание I. Мудрец, который видит всех остальных, не может узнать ничего о своём колпаке. Но всех остальных мудрецов он спасти может, если они заранее договорятся. О чём они должны договориться — думайте!
| |
|
Указание II. Мудрец, который видит всех остальных, посчитает количество красных колпаков и скажет слово «красный», если это количество нечётно, и слово «зелёный», если чётно. | | |
|
|
