МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Игра «Делимость». а) Света и Аня по очереди слева направо пишут цифры четырёхзначного числа. Первую — Света, вторую — Аня, третью — Света, четвёртую — Аня. Если полученное число делится на 9, то выиграет Аня, иначе — Света. У кого — Светы или Ани — есть выигрышная стратегия?
б) Та же игра, но проверяем делимость не на 9, а на 11.
 

Можно ли наполнить цилиндрическую бочку водой из реки наполовину, не пользуясь никакими дополнительными предметами?

Миша и Маша называют числа от 1 до 5. Миша называет первое число. Побеждает тот, после чьего хода сумма названных чисел окажется равна 100. Кто победит при правильной игре?
 

Сколько ударов в сутки делают часы с боем?
 

Правила игры ним достаточно простые: выкладывают несколько кучек камней. За один ход игрок забирает любое количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто берёт последний камень. Кто победит в этой игре зависит от того, сколько имеется кучек и сколько камней в каждой? Ответить на этот вопрос не так просто.

Пете и Васе очень понравилась эта игра. Каждую субботу перед Малым мехматом они в неё играют, причём Петя всегда берёт камни первым, а Вася — вторым. Постарайтесь определить, у кого из двух мальчиков есть выигрышная стратегия, если

а) всего две кучи камней, в первой — 30, во второй — 33.

б) всего три кучи камней, в первой и во второй по 3, а в третьей — 4.

в) всего три кучи камней, в первой — 1, во второй — 2, а в третьей — 3.

г) всего две кучки камней, в первой лежит k камней, а во второй — m камней.

д) придумайте, сколько камней нужно положить в каждую из 3 кучки камней, чтобы выиграл второй игрок.
 

У одного короля было четыре сына и 864 миллиона фартингов. Решил как-то король поделить все свои миллионы между сыновьями. Подумал, подумал, да и сделал. Сыновья его, как миллионы получили, поехали в разные страны. Первый в пути шесть миллионов потерял, второй шесть миллионов заработал, у третьего миллионов в два раза больше стало, а у четвёртого в два раза меньше. Прошло три года, собрал король своих сыновей и спроcил, у кого сколько миллионов осталось. Оказалось, что у всех поровну. Сколько?