МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Найдите хотя бы одно решение уравнения

31x + 30y + 28z = 365,

где x, y и z — натуральные числа.
 

Имеется 101 монета, причём из них 50 — фальшивые, отличающиеся по массе от подлинных на 1 грамм (все одинаковые). Родион взял одну монету и хочет определить, фальшивая ли она. Сможет ли он сделать это за одно взвешивание?
 

Напишите наименьшее натуральное число, составленное из всех возможных различных цифр.
 

Три куры за три дня несут три яйца. Сколько яиц снесут девять кур за девять дней?
 

Первая цифра трёхзначного числа — 4. Если её перенести в конец, получится число, составляющее ³/₄ от исходного. Найдите исходное число.
 

Можно ли записать в квадратную таблицу 10×10 клеток первые сто простых чисел так, чтобы суммы чисел в столбцах, в строках и в обеих диагоналях были все одинаковы?
 

Используя известные математические символы, получите число 2001 с помощью как можно меньшего количества единиц.
 

Нарисуйте пятизвенную ломаную, пересекающую каждое свое звено ровно два раза.
 

На прямой дороге от Кощеево до Горынычей поставили километровые столбы и прибили на каждый по две таблички: сколько километров до Кощеево и сколько до Горынычей. Василиса Премудрая заметила, что сумма всех цифр на каждом столбе равна 15. Сколько километров от Кощеево до Горынычей?
 

Существует ли 10 натуральных чисел (не обязательно различных), сумма которых равна их произведению?
 

Есть 10 мешков с монетами. Известно, что ровно в одном мешке монеты фальшивые — все они на 1 г легче настоящих, а все настоящие весят по 3 г. Есть весы, которые показывают точный вес положенного на них груза. Как за одно взвешивание выявить мешок с фальшивыми монетами?
 

15 одинаковых шариков можно сложить в виде треугольника, но нельзя сложить в виде квадрата — одного шарика не хватает. Из какого количества шариков можно сложить как треугольник, так и квадрат, если это количество не превосходит числа 50?
 

Петя загадал натуральное число от 1 до 100. За какое минимальное число вопросов, на которые Петя отвечает «да» или «нет», можно отгадать задуманное им число?
 

Шифр замка-автомата — семизначное число, три первые цифры которого одинаковые, остальные четыре цифры тоже одинаковые. Сумма все цифр этого числа — двузначное число, первая цифра которого совпадает с первой цифрой шифра, а последняя — с последней. Найдите этот шифр.
 

Даны 4 гири, которые должны весить 1 г, 2 г, 3 г, 4 г. Одна из этих гирь дефектная. Можно ли с помощью чашечных весов без делений за два взвешивания найти дефектную гирю и определить, легче она или тяжелее?