МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Миша спешил на свидание. Но лампочка в комнате перегорела. В комоде лежали 10 пар красных и 10 пар зелёных носков. Сколько носков нужно взять, чтобы из них наверняка можно было выбрать пару а) одного цвета; б) красного цвета?

Лампочка в прихожей у Миши тоже перегорела. Сколько ботинок из 10 пар синих и 10 пар жёлтых нужно взять, чтобы из них наверняка можно было выбрать пару а) одного цвета; б) жёлтого цвета?

Вова роздал k своим друзьям а) k + 1; б) kN + 1 конфету. Верно ли, что хотя бы одному из его друзей досталось не менее а) двух; б) N + 1 конфет?
 

Какого наименьшего числа учеников достаточно, чтобы в школе наверняка нашлись двое, которые празднуют день рождения в один и тот же день года?

В Москве проживает более 10 000 000 людей. На голове у каждого человека не может быть более 300 000 волос. Докажите, что наверняка найдутся 34 москвича с одинаковым числом волос на голове.

В лесу растут 362 елки. Докажите, что среди них найдутся либо 20 ёлок разной высоты, либо 20 ёлок одинаковой высоты.

Во время диктанта ученики класса сделали 211 ошибок. Федя допустил в своей работе 20 ошибок, а остальные ученики — меньше. Докажите, что хотя бы два ученика сделали одинаковое количество ошибок.
 

Юля пишет n чисел. Петя пытается выбрать из них два так, чтобы их разность делилась на n – 1. Всегда ли ему это удастся?
А если проверяется делимость на n?
 

Докажите, что в любом классе существуют два ученика, имеющие одинаковое число друзей среди своих одноклассников.