МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Плоскость окрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки на расстоянии 1 метр a) разных цветов; б) одного цвета.
 

У старухи Шапокляк есть ковёр 4×4 метра. Моль проела в нём 15 дырок (каждая дыра — точкa). Может ли старуха Шапокляк вырезать из ковра маленький целый коврик размером 1×1 метр?
 

Король Прямоугольного государства провёл на карте своей страны несколько прямых по линейке от края до края. Государство оказалось разделено на области. Сможет ли он так раздать области своим князьям и графам, чтобы соседями князей были только графы, а графов — князья? (Если границы двух областей имеют только одну общую точку, то такие области не считаем соседними.)
 

Может ли король из предыдущей задачи оставить одну область себе, чтобы среди его соседей были и князья, и графы?
 

Из шахматной доски вырезали угловую клетку. Разрежьте оставшуюся часть на трёхклеточные уголки.
 

Раскраска географической карты является правильной, если любые два соседних государства раскрашены в разные цвета. Страны, не имеющие общего участка границы, могут быть раскрашены в один цвет. Верно, что для раскраски любой карты достаточно трёх цветов?
 

Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что всегда найдётся отрезок длины 1 метр, концы которого раскрашены одинаково.
 

У художника-абстракциониста Карандаша есть только три карандаша — фиолетовый, сиреневый и лиловый. Он всегда использует их все. Может ли он покрасить всю плоскость так, чтобы каждая прямая была раскрашена всего в два цвета?