МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

В одном государстве действительны только купюры достоинством 3 и 5 форинтов. Всегда ли можно оплатить без сдачи любую покупку в целое число форинтов, большее 10?
 

Из клетчатой доски 2¹⁰×2¹⁰ вырезали угловую клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на «уголки».
 

Можно ли разрезать равносторонний треугольник на а) 4 равносторонних треугольника; б) 8 равносторонних треугольников (не обязательно одного размера!)?

в) Докажите, что равносторонний треугольник можно разрезать на любое число равносторонних треугольников, большее 7.
 

Разрежьте квадрат на а) 6; б) 7 квадратов (квадраты могут быть разных размеров).

в) Верно ли, что квадрат можно разрезать на любое число квадратов, большее 5?
 

Разрежьте два квадрата на части так, чтобы из полученных частей можно было собрать новый квадрат. При любом ли натуральном числе n можно разрезать n квадратов на части, чтобы из них можно было собрать большой квадрат?
 

Проведите на тетрадном листе бумаги 4 прямые так, чтобы образовалось максимальное число частей. Какое наибольшее число частей может образоваться, если провести n прямых?
 

Докажите, что при любом натуральном n число 4ⁿ – 1 делится на 3.

На прямоугольной доске размером 100×200 передвигают фишку: из левого верхнего угла сначала ведут её до правого верхнего угла, затем поворачивают на 90° по часовой стрелке и двигают до упора вниз, опять поворачивают на 90° по часовой стрелке, и так далее. По каждой клетке фишка может пройти только один раз. В какой клетке она остановится?