МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 23 (18 апреля 2015 года). Внезапно

1.

Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?

2.

Каждую неделю Витя получает в школе три отметки (целое число от 2 до 5): одну по математике, одну по физике и одну по русскому языку. Родители хвалят его, если по большинству предметов его отметка повысилась по сравнению с предыдущей неделей. Сможет ли Витя так получать отметки, чтобы его хвалили весь год?

3

Три эксперта голосовали за три проекта А, В и С. Может ли так случиться, что большинство экспертов считает, что А лучше В, большинство из них считает, что В лучше С, и большинство считает, что С лучше А?

4.

Вася утверждает, что если взять квадрат натурального числа, прибавить к нему само число, и ещё добавить 41, то результат всегда будет простым (делиться нацело только на 1 и на себя). Прав ли он?

5.

В 6А и 6Б классах по 30 человек. Доля отличников среди мальчиков (то есть, отношение числа отличников-мальчиков к числу всех мальчиков) в 6А классе больше, чем в 6Б. Доля отличниц среди девочек в 6А тоже больше, чем в 6Б. Может ли быть так, что в 6А классе отличников меньше, чем в 6Б?

6.

Есть 9 борцов, где номер борца 1, 2, ..., 9 выражает его силу. В поединке любых двоих всегда побеждает сильнейший. Можно ли разбить их на три команды по три борца в каждой так, чтобы во встречах команд по системе «каждый с каждым» (9 поединков) первая команда по числу побед одержала верх над второй, вторая — над третьей, а третья — над первой?

7.

Можно ли нарисовать внутри треугольника, у которого две стороны равны 3 см, ещё один треугольник, у которого две стороны равны 3 см. (Маленькому треугольнику нельзя касаться большого даже вершиной.)

8.

Можно ли прокачать квадрат со стороной 1 см: поместить в него несколько кругов, суммарный радиус которых больше километра?

9.

Даздраперма нарисовала на листе синий многоугольник, потом вырезала из второго листа такой же, но красный, и положила его на синий. Оказалось, что все вершины синего многоугольника были покрыты красным. Верно ли, что синий многоугольник целиком покрыт красным?