МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 14 (14 февраля 2015 года). А с другой стороны...

1.

а)

Васисуалий хочет расставить на шахматной доске 16 белых и 16 чёрных фигур так, чтобы в каждой строке белых фигур было больше, чем чёрных. Не ждёт ли его разочарование?

б)

Васисуалий заглянул в магазин и теперь никак не ограничен в количестве фигур. Однако и запросы у него выросли. Теперь он хочет не только того, чтобы в каждой строке белых фигур было больше, чем чёрных, но и чтобы в каждом столбце чёрных фигур было больше, чем белых. Не ждёт ли его разочарование?

в)

Разневанный Васисуалий выхватил фломастер. Он хочет написать на каждой клетке шахматной доски такое число, чтобы в каждой строке сумма чисел была равна 10, а в каждом столбце — 20. Не ждёт ли его разочарование?

г)

Нервно хихикая, Васисуалий решил написать на каждой клетке такое, не обязательно целое, число, чтобы в каждой строке произведение было 10, а в каждом столбце — 11. Не ждёт ли его разочарование?

д)

Взлохмаченный Васисуалий трудился всю ночь, пытаясь написать на доске такие числа, чтобы в каждом столбце произведение чисел было одинаковым, в каждой строке — тоже одинаковым, но при этом отличающемся от произведения в столбцах. Не ждёт ли его разочарование?

е)

Немножко подумав, Васисуалий выхватил топор и превратил доску 8×8 в доску 6×8. После чего попробовал проделать то, что хотел сделать в пункте в). Не ждёт ли его разочарование?

2.

Средний возраст 11 игроков футбольной команды — 22 года. Во время матча один игрок получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся — 21 год. Сколько лет получившему травму?

3.

Взяли несколько одинаковых правильных треугольников. Вершины каждого из них пометили цифрами 1, 2 и 3. Затем их сложили в стопку. Могло ли оказаться, что сумма чисел, находящихся в каждом углу, равна 55?

4.

Васисуалий посчитал число имеющихся у него коробочек, в которых одна целая шахматная фигура или больше: их оказалось 8; коробочек, в которых больше одной целой фигуры — 6; больше двух — 5; больше трех — 3; больше четырех — 2. Коробочек, в которых больше пяти целых фигур, не было. Сколько целых фигур осталось у Васисуалия?

5.

Можно ли расставить числа в клетках прямоугольника 4×5 так, чтобы в каждой фигурке из четырёх клеток вида «L» сумма чисел была равна 6, а в каждой фигурке вида «S» сумма чисел была равна 7?

6.

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечетное число фигур? (Угловая клетка также считается диагональю доски.)