МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 1 (27 октября 2014 года). Фальшивомонетничество на Руси

Ходят легенды, что в XVIII веке отечественный предприниматель Акинфий Демидов делал из золота, добывающегося в принадлежащих ему шахтах, фальшивые золотые монеты. Причём фальшивые монеты Демидова содержали больше золота, чем настоящие (монеты всё равно стоили дороже, чем золото, из которого они были сделаны). На чём он и погорел. Иными словами, фальшивые монеты были тяжелее настоящих.

0.

Из трёх монет одна фальшивая. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь найти, какая именно?

1.

а)

Есть 9 монет, одна из них фальшивая. Как найти её за два взвешивания?

б)

Тот же вопрос для 25 монет и трёх взвешиваний.

в)

Из четырёх монет одна фальшивая. Докажите, что за одно взвешивание нельзя найти, какая.

г)

Хватит ли для 12 монет двух взвешиваний?

д*)

Хватит ли для 30 монет трёх взвешиваний?

е**)

Попытайтесь решить эту задачу в общем случае: для каждого возможного количества монет найдите, сколько взвешиваний требуется для того, чтобы выявить среди них одну фальшивую.

2.

а)

Купец Демидов живёт в 16-этажном доме. У купца было три одинаковых мешка с монетами. Однажды он случайно уронил один из мешков с 16-ого этажа, и обнаружил, что мешок порвался. Как ему за 5 бросков и за два оставшихся мешка найти наименьший этаж, при падении с которого мешок рвётся?

б)

Хватит ли 6 бросков и двух мешков для 22 этажей (если известно, что падения с 22 этажа мешку достаточно)?

3.

Раскрасьте клетки доски 7×7 в два цвета так, чтобы в любом квадрате 3×3 синих клеток было на одну больше, чем красных.

4.

а)

Три карася тяжелее четырёх окуней. Можете ли вы определить, что тяжелее — 4 карася или 5 окуней?

б)

На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня 3 больших и 1 маленькая стоят столько же, сколько 5 больших вчера. А 2 большие и 1 маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько 3 больших и 1 маленькая вчера. Можно ли определить, что дороже: 1 большая и 2 маленьких сегодня, или 5 маленьких вчера?

5.

В фотоателье залетели 50 птиц — 18 скворцов, 17 трясогузок и 15 дятлов. Каждый раз, как только фотограф щёлкнет затвором фотоаппарата, какая-то одна из птичек улетит (насовсем). Сколько кадров сможет сделать фотограф, чтобы быть уверенным: у него останется не меньше 11 птиц какого-то одного вида, и не меньше десяти — какого-то другого?

6.

В ящике лежат 100 шариков белого, синего и красного цвета. Если, не заглядывая в ящик, вытащить 26 шариков, то среди них обязательно найдутся 10 шариков одинакового цвета. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 30 шариков одинакового цвета?

7*.

По новому Государеву Указу запрещается взвешивать одну и ту же монету более двух раз. Как за 7 взвешиваний найти одну фальшивую монету из 99?