МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 14 (8 февраля 2014 года). Коты. Коты всюду

1.

В городе Муррманске из любых двух котов хотя бы один воровал колбасу. Сколько может быть в Муррманске котов, которые не воровали колбасу?

2.

На дереве сидели 30 котов. Кот называется лихим, если он сбросил с дерева хотя бы трех других котов. Каково могло быть наибольшее число лихих котов на дереве и под деревом? (Сам себя кот не сбрасывает, двое одного не сбрасывают, обратно на дерево не лезут.)

3.

Кот барона Мюнхгаузена утверждает, что ещё позавчера ему (не барону, а коту) было 5 лет, а уже в следующем году исполнится целых 8. Как такое может быть?

4.

Каждые 60 секунд из магазина Колбаскин в магазин Сметанкино отправляется кот. Одновременно с этим из Сметанкино в Колбаскин также выходит кот. Каждый кот находится в пути 7 минут и идут они по одному и тому же пути. Сколько котов встретит на своём пути Мурзик, только что вышедший из Сметанкино в Колбаскин?

5.

36 бутербродов с красной икрой лежали в виде квадрата 6×6. Мурзик увидел это и попробовал некоторые бутерброды. После дегустации оказалось, что в любом квадрате 2×2 одинаковое число попробованных бутербродов, и в любом прямоугольнике 1×3 тоже одинаковое число попробованных бутербродов (но, возможно, другое, чем в квадратах 2×2). Сколько бутербродов было попробовано?

6.

а)

В Муррманске коты бывают одной из 7 расцветок, в том числе рыжие. Однажды 49 котов уселись в виде квадрата 7×7, причём оказалось, что в каждом ряду сидит по одному коту каждой расцветки, а квадрат симметричен относительно одной из диагоналей. Докажите, что на этой диагонали сидит хотя бы один рыжий кот.

б)

Сколько рыжих котов может сидеть на этой диагонали?