МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 6 (26 октября 2013 года)

1.

— У Вовы больше тысячи книг, — сказал Ваня.
— Нет, книг у него меньше тысячи, — возразила Аня.
— Одна-то книга у него наверняка есть, — сказала Таня.
Сколько книг может быть у Вовы, если истинно ровно одно из этих утверждений?

2.

В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один — груздь.

а)

Может ли в корзине быть поровну рыжиков и груздей?

б)

Сколько рыжиков и сколько груздей может быть в корзине?

3.

В каждой клетке доски 4×4 лежит слива. Уберите 6 слив так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке осталось чётное число слив.

4.

В корзине лежат 13 яблок. Имеются весы, с помощью которых можно узнать суммарный вес любых двух яблок. Придумайте способ выяснить за 8 взвешиваний суммарный вес всех яблок.

5.

На картинке схематично изображён символ инь и ян. Нарисуйте, как разделить белую его сторону на две равные части.

6.

На физическом кружке учитель поставил следующий опыт. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, ..., 16 грамм так, что одна из чаш перевесила. Пятнадцать учеников по очереди выходили из класса и забирали с собой по одной гирьке, причем после выхода каждого ученика весы меняли свое положение и перевешивала противоположная чаша весов. Какая гирька могла остаться на весах? (Найдите все возможные ответы.)