МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 23 (19 апреля 2014 года)

1.

Железный Дровосек одним ударом топора разбивает любой чурбак или полено на три части. Он хочет разбить чурбак на 33 части. Сколько ударов ему понадобится?

2.

Числитель и знаменатель дроби уменьшили на единицу. Могла ли дробь при этом увеличиться?

3.

В квадрате 6×6 некоторые клетки закрашены свежей краской так, как показано на рисунке. Если перегнуть квадрат по любой линии сетки, а затем разогнуть обратно, то клетки, которые при перегибании совместятся с закрашенными, тоже закрасятся.

а)

Можно ли закрасить весь квадрат, совершив не более четырёх таких перегибаний?

б)

А хватит ли трёх перегибаний?

4.

В круге отметили точку. а) Разрежьте круг на три части так, чтобы из них можно было составить новый круг, у которого отмеченная точка будет в центре. б) Можно ли сделать это, разрезав круг на две части?

5.

Каждый мальчик съел по 6 конфет, 2 котлеты и одному персику, а каждая девочка — по 8 конфет, одной котлете и 3 персика. Всего они съели 100 котлет и персиков вместе взятых. А сколько конфет?

6.

На прозрачном столе стоит куб 3×3×3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди, сзади, слева, справа, сверху, снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать так, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не разваливалась?

Дополнительные задачи

7.

Дан куб с ребром 2. Покажите, как наклеить на него без наложений 10 квадратов со стороной 1 так, чтобы никакие квадраты не граничили по отрезку (по стороне или её части). Граничить по вершине квадратам не запрещено. Перегибать квадраты нельзя.

8.

По углам каждого из девяти маленьких ромбов в кружочках нужно разместить числа от 1 до 16 так, чтобы каждые 4 числа одновременно давали в сумме 34. Три суммы четвёрок чисел: по центральной горизонтали, по центральной вертикали и по углам большого ромба также должны равняться 34.

9.

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей доски оказаться нечетное число фигур? (Угловая клетка также считается диагональю доски.)