МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 22 (12 апреля 2014 года)

1.

Разрежьте данный квадрат по сторонам клеток на четыре части так, чтобы все части были одинакового размера и одинаковой формы и чтобы каждая часть содержала по одному кружку и по одной звёздочке.

2.

В одной из клеточек а) полоски 1×3, б) креста из пяти клеток, в) квадрата 2×2 сидит заяц, но охотнику он не виден. Охотник каждым выстрелом поражает одну из клеток. Если он не попадает в зайца, то до следующего выстрела напуганный зайчик перебегает в одну из соседних по стороне клеток. У охотника всего 5 патронов. Может ли он действовать так, чтобы наверняка убить зайца?

3.

В музее 16 залов, расположенных в виде квадрата. В половине из них выставлены картины, а в половине — скульптуры. Из любого зала можно попасть в любой соседний с ним (имеющий общую стену). При любом осмотре музея залы чередуются: зал с картинами — зал со скульптурами — зал с картинами и т.д. Осмотр начинается в зале А, в котором висят картины, а заканчивается в зале Б.

а)

Обозначьте крестиками все залы, в которых висят картины.

б)

Турист хочет осмотреть как можно больше залов (пройти от зала А к залу Б) так, чтобы в каждом зале побывать не больше одного раза. Какое наибольшее количество залов он сможет посмотреть?

4.

Как на стол поставить а) как можно меньше, б) ровно 8 одинаковых кубиков так, чтобы полностью были видны ровно 23 грани кубиков, а остальные грани видны не были?

5.

Одноклассники Аня, Боря и Вася живут на одной лестничной клетке. В школу они идут с постоянными, но различными скоростями, не оглядываясь и не дожидаясь друг друга. Но если кто-то из них успевает догнать другого, то дальше он замедляется, чтобы идти вместе с тем, кого догнал. Однажды первой вышла Аня, вторым Боря, третьим Вася, и какие-то двое из них пришли в школу вместе. На следующий день первым вышел Вася, вторым Боря, третьей Аня. Могут ли все трое прийти в школу вместе?

6.

Петя выкладывает в две стопки чёрные и красные карточки. Он решил, что класть карточку на другую карточку того же цвета он не будет. Десятая и одиннадцатая карточки, выложенные Петей, — красные, а двадцать пятая — чёрная. Какого цвета двадцать шестая выложенная карточка?

Дополнительные задачи

7.

Можно ли так расставить фишки в клетках доски 8×8, чтобы в любых двух столбцах количество фишек было одинаковым, а в любых двух строках — различным?

8.

Имеется 8 монет, 7 из которых — настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжёлым грузом. Как за четыре взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?

9.

В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (на рисунке, слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число или одновременно вычитать одно и то же число. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)

2	6	2
4	7	3
3	6	5

1	0	0
0	2	0
0	0	1