МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 4 (12 октября 2013 года)

1.

Предложил чёрт лодырю: «Всякий раз, как перейдёшь этот волшебный мост, твои деньги удвоятся. За это ты, перейдя мост, должен будешь отдать мне сорок рублей». Трижды перешёл лодырь мост — и остался совсем без денег. Сколько денег было у лодыря первоначально?

2.

Легко расположить на столе пять одинаковых монет, как показано на рисунке слева. Заберём одну монету (заштрихованную), а остальные смешаем. Не используя ничего, кроме этих четырёх монет, расположите их так, как показано на рисунке справа.

3.

Петя заполнил клетки таблицы числами так, что сумма чисел, стоящих в любых трёх подряд идущих клетках, равнялась 15, а двоечник Колька стёр почти все числа. Сможете ли вы восстановить таблицу?

7

3

4.

У куба шесть граней, и все они — квадраты. Придумайте другой многогранник, все грани которого — одинаковые квадраты.

5.

Если квадрат 5×5 разрезать на 25 маленьких квадратиков, то из них можно сложить два квадрата: 3×3 и 4×4 (и лишних квадратиков не останется).

а)

Разрежьте квадрат 5×5 на шесть частей, из которых можно сложить квадраты 3×3 и 4×4. Разрезы разрешается проводить только по сторонам клеток.

б)

А каким наименьшим количеством частей можно обойтись?

6.

В пять горшочков, стоящих в ряд, Кролик собирается налить три килограмма мёда (не обязательно в каждый и не обязательно поровну). Кролик обещал Винни-Пуху, что после этого Пух сможет взять любые два горшочка, стоящие рядом. Как экономному Кролику разлить весь мёд так, чтобы Пух смог унести как можно меньше мёда?

7.

Клетки доски 4×4 раскрашены в 4 цвета так, что в каждом квадратике 2×2 все клетки разного цвета. Могут ли угловые клетки а) на одной стороне; б) на одной диагонали быть одного цвета?