МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 8 (9 ноября 2013 года)

1.

Имеются 12-литровый бочонок, наполненный квасом, и два пустых бочонка ёмкостью 5 и 8 л. Как, пользуясь этими бочонками:

а)

разделить квас на две части — 3 и 9 л?

б)

разделить квас на две равные части?

2.

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

3.

Расставьте числа 1, 2, 3, ..., 9 в кружочках так, чтобы сумма чисел на каждой стороне треугольника равнялась 17.

4.

Найдите 2013 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению.

5.

Ежедневно в полдень из Плимута в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход, и в это же время из Нью-Йорка отходит идущий в Плимут пароход той же компании. Каждый из пароходов находится в пути ровно 7 суток, и идут они по одному и тому же пути. Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Плимута в Нью-Йорк?

6.

На линейке длиной 9 см нет делений. Нанесите на неё три промежуточных деления так, чтобы ею можно было бы отмерить любое целое число сантиметров от 1 до 9 включительно.

Дополнительные задачи

7.

Бабе-Яге подарили большие песочные часы на 5 минут и маленькие — на 2 минуты. Зелье должно непрерывно кипеть ровно 8 минут. Когда оно закипело, весь песок в больших часах находился в нижней половине, а в маленьких — какая-то (неизвестная) часть песка в верхней, а остальная часть — в нижней половине. Помогите Бабе-Яге отмерить ровно 8 минут. (Песок все время сыплется с постоянной скоростью. На переворачивание время не тратится.)

8.

По кругу расположены 12 полей. На четырёх соседних полях стоят четыре фишки: красная, жёлтая, зелёная и синяя. Одним ходом можно переставить фишку с поля, на котором она стоит, через четыре поля на пятое (если оно свободно) в любом из возможных направлений. После нескольких ходов фишки опять встали на те же четыре поля. Как они могли при этом переставиться?