МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 10 (23 ноября 2013 года)

1.

а)

Зайцы пилят бревно. Они сделали 10 распилов. Сколько получилось чурбачков?

б)

Зайцы распилили несколько бревен. Они сделали 10 распилов и получили 16 чурбачков. Сколько бревен они распилили?

2.

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?» Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?

3.

На столе лежат в ряд пять монет: средняя — вверх орлом, а остальные — вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний положить монеты так, чтобы крайние слева и справа лежали орлом вверх, а остальные — решкой?

4.

Пять первоклассников стояли в шеренгу и держали 37 флажков. У всех первоклассников, стоящих справа от Тани, вместе — 14 флажков, справа от Яши — 32, справа от Веры — 20, справа от Максима — 8. Сколько флажков у Даши? А у Яши?

5.

Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого ²/₃ метра?

6.

Пять рыцарей надели пять плащей, и каждому плащ оказался короток. Тогда рыцари, сняв плащи, выстроились по росту. Самый высокий рыцарь взял себе самый длинный плащ, второй взял себе самый длинный плащ из оставшихся и т.д. Рыцарь самого маленького роста взял себе самый короткий плащ. Докажите, что и в этом случае каждому рыцарю плащ окажется короток.

Дополнительные задачи

7.

Числа от 1 до 16 расставлены в таблице 4×4. В каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (включая диагонали из одной клетки) отметили самое большое из стоящих в ней чисел (одно число может быть отмечено несколько раз). Могли ли оказаться отмечены а) все числа, кроме, быть может, двух? б) все числа, кроме, быть может, одного? в) все числа?

8.

В заповеднике живут 16 жирафов, все разного роста. Возможно ли построить этих жирафов в ряд так, что, какие бы 11 из них ни убежали, оставшиеся пятеро будут стоять не по росту? (По~росту — значит в порядке убывания роста или в порядке возрастания роста.)