МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Михаил Владимирович Шеблаев
2010/2011 учебный год

Занятие 7 (6 ноября 2010 года)

«А давайте посчитаем, благородные кроты»
Г. Х. Андерсен, «Дюймовочка»

1.
Расположите в порядке возрастания числа: 2222; 2222; 2222. Ответ обоснуйте.
2.
Назовем натуральное число „замечательным”, если оно — самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько существует трехзначных замечательных чисел?
3.
Докажите, что 1/2 − 1/3 + 1/4 − 1/5 + ... + 1/98 − 1/99 + 1/100 > 1/5.
4.
За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём продукции снижался на одно и то же число процентов. На какое?
5.
Конфеты «Сладкая математика» продаются по 12 штук в коробке, а конфеты «Геометрия с орехами» — по 15 штук в коробке. Какое наименьшее число коробок конфет того и другого сорта необходимо купить, чтобы тех и других конфет было поровну?
6.
В Таниной квартире имеется 8 розеток, 21 тройник и неограниченный запас утюгов. Какое наибольшее число утюгов Таня может включить в сеть одновременно?
7.
Свежий арбуз весил 10 килограмм и на 99% состоял из воды. На базе арбуз подсох (часть воды испарилась) и в нем стало 98% воды. Сколько он теперь весит?
8.
Тирана поддерживает 1% населения страны. Тиран хочет выиграть многоступенчатые, но демократические выборы. Выборы происходят так. Все избиратели делятся на равные группы. В каждой группе большинством голосов выбирают выборщика. Всевыборщики снова делятся на равные группы, в каждой группе опять выбирают выборщика, и так далее. В конце концов образуется одна группа, которая большинством голосов выбирает президента. Может ли тиран так разбить избирателей на группы и так проинструктировать своих сторонников, чтобы победить на выборах?