МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 6 (30 октября 2010 года)

Принцип Дирихле

0.

В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 400 000 иголок. Докажите, что в лесу найдется не менее трех елок с одинаковым количеством иголок.

1.

Семья из 7 человек ела торт. Его разделили на 7 частей разного размера. Докажите, что кто-то съел не менее 1/7 торта.

2.

Докажите, что среди любых трех целых чисел найдутся два, сумма которых четна.

3.

На листе бумаги нарисованы шесть точек. Каждые две из них соединены отрезком — либо красным, либо синим. Докажите, что найдется либо треугольник с синими сторонами, либо с красными.

4.

Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

5.

Докажите, что среди любых 10 целых чисел найдутся одно или несколько, сумма которых делится на 10.

6.

На отрезке длиной 20 см отмечено 19 точек. Докажите, что найдется интервал длиной не меньше 1 см, не содержащий ни одной выделенной точки (интервал — «отрезок без концов»)

7.

По краю круглого стола расставлены таблички с фамилиями дипломатов. Оказалось. Что дипломаты не посмотрели на таблички и каждый из них сел не на свое место. Можно ли повернуть стол так, чтобы хотя бы два дипломата сидели напротив своих табличек?

Домашнее задание

8.

В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

9.

В клетках таблицы 3×3 расставлены числа −1, 0, 1. Докажите, что какие-то две из 8 сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны