МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Вступительная олимпиада (18 сентября 2010 года)

1.

Можно ли расставить по кругу шесть различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних?

2.

В какое наименьшее количество цветов надо раскрасить доску 100×100, чтобы никакие две соседние клетки (по горизонтали, вертикали или диагонали) не были окрашены в одинаковый цвет?

3.

В выражении

К · А · Р · Л · С · О · Н

В · А · Р · Е · Н · Ь · Е

каждой букве соответствует цифра, причем разным буквам — разные цифры. Между буквами стоит знак умножения. Чему может быть равно значение этого выражения?

4.

Какое наименьшее количество плоских разрезов необходимо сделать, чтобы разрезать куб на 64 одинаковых маленьких кубика? После каждого разреза разрешается перекладывать образовавшиеся части в любое место.

5.

В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга, 11 — по 4 друга, а 10 — по 5 друзей в этом классе?

6.

До царя дошла молва, что кто-то из троих богатырей убил Змея Горыныча. Царь приказал всем троим явиться ко двору и молвили они:
Илья Муромец: «Змея убил Добрыня Никитич».
Добрыня Никитич: «Змея убил Алеша Попович».
Алеша Попович: «Змея убил я».
При этом известно, что один из них сказал правду, а двое слукавили. Кто убил Змея?

7.

В библиотеке за книжками выстроилась очередь. Библиотекарша Анна задерживалась, и в очередь в каждый промежуток между стоящими успело влезть по школьнику Анны все еще не было, и во все промежутки опять влезло по школьнику. Придя на работу, Анна обнаружила в очереди 101 школьника. Сколько же их было первоначально?