МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Руководитель Михаил Владимирович Шеблаев
2010/2011 учебный год

Занятие 15 (26 февраля 2011 года)

Делимость-2

1.
Докажите, что произведение любых пяти подряд идущих целых чисел делится на 120.
2.
Пусть число A при делении на N дает остаток a, а число B при делении на N дает остаток b. Найдите остатки от деления на N суммы, разности, произведения и частного чисел А и В.
3.
Какие остатки могут быть у числа, являющегося полным квадратом, при делении на:
a.
5;
b.
10.
4.
Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом?
5.
Найдите остаток от деления 2100 на 3.
6.
Докажите, что
a.
n³ − n делится на 24 при любом натуральном n;
b.
n³ + 2n делится на 6 при любом натуральном n.
7.
Водяной построил кикимор в колонну по 4, но при этом кикимора Дуся осталась лишней. Тогда водяной построил кикимор в колонну по 5. И снова Дуся осталась лишней. Когда же и в колонне по 6 кикимора Дуся осталась лишней, водяной посулил ей болото вне очереди, после чего в колонне по 7 Дуся нашла себе место и никого лишнего не осталось. Какое наименьшее количество кикимор могло быть у водяного?
8.
При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число m.
9.
Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в три раза?
10.
Можно ли торт со сторонами 2,3×3,5 см разрезать на прямоугольнички 0,08×0,07 см?