МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 1 (25 сентября 2010 года)

1.

В плоскости расположено 7 зубчатых колёс таким образом, что первое колесо сцеплено своими зубцами со вторым, второе — с третьим и т.д. Наконец, последнее колесо сцеплено с первым. Могут ли вращаться колёса такой системы?

2.

Можно ли 77 телефонов соединить между собой проводами так, чтобы каждый был соединён ровно с пятнадцатью?  

3.

Может ли прямая пересекать все ребра замкнутой 25-звенной ломаной, не проходя ни через одну её вершину? 

4.

На дереве растет 49 апельсинов и 50 бананов. Разрешено срывать  одновременно два фрукта. Если срывают два одинаковых фрукта, то вместо них мгновенно вырастает один банан. Если же срывают два разных фрукта, то вместо них мгновенно вырастает один апельсин. Через некоторое время на дереве остался один фрукт. Что это за фрукт — банан или апельсин? 

5.

Из 28 костей домино убрали все кости с пустышками. Можно ли  остальные выложить в цепь? 

6.

Можно ли расставить числа  a) от 1 до 7;  b) от 1 до 9  по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей? 

7.

Шахматный король обошёл всю доску, побывав на каждой клетке по  одному разу, вернувшись последним ходом в исходную клетку. Докажите, что он сделал чётное число диагональных ходов. 

8.

В узлах клетчатой плоскости отмечено 5 точек. Доказать, что есть  две из них, середина отрезка между которыми тоже попадает в узел. 

9.

Среди 201 монеты 50 фальшивых. Каждая фальшивая отличается от  настоящей по весу на 1 грамм (в ту или в другую сторону). Имеются  чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настоящая. Как это сделать? 

Домашнее задание

10.

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.

11.

11.Пусть m и n — целые числа. Докажите, что mn(m + n) — четное число.