МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 14 (19 февраля 2011 года)

Делимость

1.

Существует ли такое натуральное число N, что сумма цифр числа 2^N делится на 12?

2.

Докажите, что произведение

a.

двух подряд идущих целых чисел чётно;

b.

трёх подряд идущих целых чисел делится на 6.

3.

Может ли быть так, что ни одно из данных двух целых чисел не делится на 6, а произведение этих чисел делится на 36?

4.

Ковбой Джо попросил в баре бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, 3 пачки табаку и 9 коробок спичек (их цену он не знал). Бармен потребовал 11 долларов 80 центов, на что Джо вытащил револьвер. Бармен сразу же пересчитал и исправил ошибку. Как Джо понял, что его обсчитали?

5.

Миша и Маша нашли на дороге по мешку с 11-рублевыми монетами. Миша выпил 3 стакана чая, съел 4 бублика и 5 шоколадок и расплатился 11-рублевками без сдачи. Маша выпила 9 стаканов чая, съела 1 бублик и 4 шоколадки. Докажите, что она тоже сможет расплатиться 11-рублевыми монетами без сдачи.

6.

Существуют ли целые числа x, y и z, удовлетворяющие уравнению 28x + 30y + 31z = 365?

Подсказка

Подсказка. Если не получается решить эту задачу сразу, вспомните календарь!

7.

Количество различных делителей некого натурального числа нечетно. Докажите, что это число — полный квадрат.

8.

На Луне ходят монеты достоинством 1, 15 и 50 фартингов. Незнайка отдал за покупку несколько монет и получил на сдачу на одну монету больше. Какую наименьшую сумму могла стоить покупка?

9.

На доске написано число 1. Каждую секунду к нему прибавляют число, равное сумме его цифр. Может ли через некоторое время на доске появиться число 123456?