МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 7 класса

Занятие 4 (16 октября 2010 года)

Математические игры

1.

Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол так, чтобы они не накла- дывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?

2.

Король стоит на поле A1. За один ход разрешается сдвинуть его на одну клетку вверх, одну клетку вправо или одну клетку по диагонали вправо- вверх. Выигрывает тот, кто поставит короля на поле H8.

3.

В правой верхней клетке шахматной доски стоит «односторонняя ладья», которая может двигаться влево или вниз. Двое игроков ходят по очереди, сдвигая ладью влево или вниз на любое число клеток. Кто не может сделать ход, проигрывает. У кого есть возможность всегда выигрывать?

4.

Шоколадка представляет собой прямоугольник 5×8, разделённый углуб- лениями на 40 квадратиков. Двое по очереди разламывают её по углубле- ниям: за один ход можно разломить любой из кусков на два. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Какой из игроков всегда побеждает?

5.

Имеются две кучки: в одной 30 камней, в другой — 20. Двое игроков по очереди берут любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

6.

В коридоре стоят семь кресел. Два человека сидят соответственно в седь- мом и шестом креслах. Ход состоит в том, что человек должен пересесть в другое кресло, чтобы между ним и партнером находилось не более двух кресел. Выигрывает тот, кто окажется на первом кресле. Первым ходит тот, кто сидит на седьмом кресле. Кто выигрывает при правильной игре и как он должен играть?

7.

У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

8.

В одной куче 18 конфет, в другой — 23. Двое по очереди съедают одну из куч, а другую делят на две (не обязательно равные) кучи. Тот, кто не может поделить кучу (в ней одна конфета), проигрывает.

9.

На столе лежат 20 спичек. Игрок может взять 2, 3, или 4 спички, но не может взять столько, сколько взял предыдущий. Кто не может сходить — проигрывает.

10.

Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.

Домашнее задание

1.

Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано некоторое натуральное число с ненулевой последней цифрой. Ход состоит в том, что из числа вычитают какую-нибудь его ненулевую цифру и пишут результат вместо старого числа. Выигрывает тот, кто первым получит ноль. Какова выигрышная стратегия?

2.

На доске написано число 2. За ход можно к записанному числу прибавить один из его делителей, отличный от самого числа. Проигрывает тот, кто получит число большее 1000. Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия.