МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 20. (21.03.08)

1.

Есть три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. Саша взял себе один треугольник, а Боря — два оставшихся. Оказалось, что Боря может приложить (без наложения) один из своих треугольников к другому, и получить треугольник, равный Сашиному. Какой из этих треугольников взял Саша?

2.

На доске было написано несколько натуральных чисел, причём разность любых двух соседних чисел равна одному и тому же числу. Коля заменил в этой записи разные цифры разными буквами, а одинаковые цифры — одинаковыми буквами. Восстановите исходные числа, если на доске написано: Т, ЕЛ, ЕК, ЛА, СС.

3.

Встретились на поле брани 2 армии: 1000 толстых и 1000 тонких. Каждый толстый выстрелил в одного тонкого. Затем каждый уцелевший тонкий выстрелил ровно в одного толстого. Докажите, что выжило не менее 1000 человек.

4.

Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

5.

Ваня считает, что дроби «сокращают», зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Ваня получает верные равенства, например 49/98=4/8. Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так «сократить».

6.

На протяжении некоторого года (от 1 января до 31 декабря включительно) количество вторников было равно количеству четвергов. Следует ли из этого, что и количество сред было такое же? Рассмотрите два случая:

а)

в году было 365 дней,

б)

в году было 366 дней.

7.

В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме &laqou;р», которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме &laqou;к», которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово &laqou;кот», 18 других учеников — слово &laqou;рот», а остальных — слово &laqou;крот». При этом слова &laqou;кот» и &laqou;рот» оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно?

8.

Лёша и Ира живут в доме, на каждом этаже которого 9 квартир (в доме один подъезд). Номер этажа Лёши равен номеру квартиры Иры, а сумма номеров их квартир равна 329. Каков номер квартиры Лёши?

9.

Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные и нечётные. В какой из групп сумма всех цифр, используемы для записи чисел, больше и на сколько?

10.

Объясните, как покрасить часть точек плоскости так, чтобы на любой окружности радиуса 1 см было ровно четыре покрашенные точки.

11.

В вершинах правильного девятиугольника расставляют числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, после чего на каждой диагонали пишут произведение чисел, стоящих на её концах. Можно ли так расставить числа в вершинах, чтобы все числа на диагоналях были разные?

12.

Сумасшедший кассир меняет любые две монеты на любые три по вашему выбору, а любые три - на любые две. Сможете ли вы обменять у него 100 монет достоинством 1 рубль на 100 монет достоинством 1 форинт, отдав ему при обмене ровно 2001 монету?