МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 12.

1.

Два яблока и три груши вместе весят как четыре лимона. Два лимона и апельсин вместе весят как яблоко и две груши вместе. Что тяжелее: яблоко, груша и апельсин вместе или два лимона?

2.

В мешке Деда Мороза лежат 100 конфет. Это леденцы и шоколадные конфеты. Снегурочка утверждает, что если вытащить любые 50 конфет, то среди них обязательно найдется и леденец и шоколадная конфета. Нужно ли ей верить?

3.

Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых встречается сочетание цифр 2007 (в том же порядке друг за другом)?

4.

В наборе «Юный Рыночник» 5 гирек массами 1г, 2г, 3г, 4г и 5г. Надписей на них нет, но чем больше гирька размером, тем больше она весит. Одну гирьку потеряли. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какие гирьки остались?

5.

Федор выращивает 10 кактусов, которые стоят в ряд на его окошке. Он рассказывает: «Три недели назад ни один из них еще не взошел. А потом за каждый из 20 дней они в сумме вырастали на 3 см. После этого самый маленький стал высотой 2 см, а любые два соседние кактуса отличаются по высоте на 1 см». Может ли такое быть, или Федор все-таки в чем-то ошибся?

6.

Клетки таблицы 3×3 заполнили числами 1,2,3,4,5,6,7,8,9. При этом сумма чисел в первой строке в четыре раза больше суммы чисел в третьей строке, а сумма чисел в первом столбце в полтора раза больше суммы чисел в третьем столбце. Какое число стоит в центральной клетке?

7.

Сколько существует 10-значных чисел, в записи которых использованы только цифры 1, 2, 3 и любые две соседние цифры отличаются на 1?

8.

Сколькими способами на шахматной доске можно отметить прямоугольник, состоящий из 6 клеток?

9.

Мама попросила Петю купить полтора батона «Рижского» и буханку «Бородинского» или на эти же деньги батон «Рижского» и пакет молока. Но Петя на все деньги купил полбуханки «Бородинского» и два пакета молока, так как «Рижского» не оказалось. Во сколько раз «Рижский» дороже «Бородинского»?

10.

Братец Кролик решил сбегать к Винни-Пуху, чтобы узнать, в какое время нужно начинать праздновать Новый Год. Но вся дорога к Винни состоит только из подъемов и спусков, а Кролик на подъеме за час преодолевает 2 км, а на спуске — 3 км. Какое время затратит на дорогу туда и обратно Кролик, если от его дома до дома Пуха ровно 6 км?

11.

В турнире участвовали 22 команды, каждые две команды сыграли между собой ровно один раз. За победу давали 2 очка, за ничью — 1 очко, за проигрыш — 0 очков. Петя говорит, что больше всех очков набрала команда, сыгравшая все матчи вничью. Может ли такое быть?

12.

Каждую грань куба поделили на четыре равных квадрата. Все квадраты пронумерованы числами от 1 до 24. Докажите, что найдутся три клетки в виде полоски 1 на 3, сумма номеров которых не менее 38.

13.

Имеется шесть натуральных чисел. Для каждой пары этих чисел выписали их наибольший общий делитель. Могли ли при этом оказаться выписанными все натуральные числа от 1 до 15?

14.

Красная Шапочка пошла гулять. Она вышла из дома в 10 часов утра, а вернулась в половину второго. В течение любого часа она проходила ровно 4 км. Какое наибольшее расстояние она могла пройти?

15.

Существуют ли 6 различных чисел, таких что их сумма равна их произведению?

16.

Какое наименьшее количество типов монет должен выпустить Монетный Двор России, чтобы любую сумму от 1 до 20 рублей можно было бы уплатить не более чем двумя монетами (без cдачи)?