МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 1. (13.10.07)

1.

Во сколько раз лестница на 16 этаж дома длиннее лестницы на 4 этаж?

2.

Вдоль лыжни на равных расстояниях друг от друга расставлены флажки. Спортсмен пробегает от первого флажка до десятого за 1 минуту. За какое время он пробегает от первого флажка до сотого?

3.

Чему равна сумма нескольких четных чисел? А нескольких нечетных? От чего это зависит?

4.

Можно ли заплатить без сдачи 25 рублей девятью купюрами в 1, 3 и 5 рублей? А десятью купюрами?

5.

Миша решил купить в магазине 6 одинаковых тетрадей, две одинаковых ручки и несколько карандашей по 4 рубля 60 копеек. Ему сказали, что в кассу следует уплатить 47 рублей 35 копеек. Миша попросил пересчитать стоимость покупки и ошибка была устранена. Как Миша догадался об ошибке?

6.

На клетчатый лист бумаги размерам 30×55 клеток пролили чернила. Могло ли после этого оказаться так, что испачканных клеток оказалось на 117 больше, чем чистых?

7.

На шахматной доске стоит конь. Может ли он вернуться на исходное поле за

а)

4 ходов?

б)

5 ходов?

в)

2007 ходов?

8.

В каждой клетке доски 5×5 сидит жук. В некоторый момент времени каждый из жуков переполз на соседнюю по горизонтали или вертикали клетку. Обязательно ли после этого будут пустые клетки?

9.

В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «-» так, чтобы значение полученного выражения равнялось 1? А нулю?

10.

По кругу написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается прибавлять к любым двум соседним числам по 1. Можно ли после нескольких таких операций сделать так, чтобы все числа равнялись 2007? Если можно, то что нужно делать?

11.

Можно ли разбить первые 50 натуральных чисел на две группы из 24 и 26 чисел так, чтобы суммы чисел в каждой группе были равны?

12.

На доске выписаны числа 1, 2, 3, 4, …, 1001. За один ход разрешено стереть любые два из них и записать вместо них их разность. Таким образом, после каждого хода чисел на доске будет оставаться на одно меньше, чем было. Через 1000 ходов на доске останется всего одно число. Может ли оказаться, что это число 2?