МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 9. Мы строили, строили и, наконец, построили!

0.

Придумайте трехзначное число, запись которого состоит из различных цифр, а в названии этого трехзначного числа все три слова начинаются с одной и той же буквы.

1.

В клетках таблицы (4 строки, 7 столбцов) расставьте натуральные числа так, чтобы их сумма в каждой строке была равна 35, а в каждом столбце — 20. Найдите 5 различных решений.

2.

Нарисуйте на клетчатой бумаге по сторонам клеток фигуру, которую нельзя было бы разбить на доминошки и которая бы

a)

состояла из четного числа клеток,

b)

содержала бы поровну белых и черных клеток при шахматной раскраске.

3.

Существуют ли два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится a) на 8 b) на 9?

4.

У Пятачка и Винни-Пуха было несколько спичек. У Пятачка — 12, а у Винни-Пуха — 18. Они сложили каждый по прямоугольнику. Могла ли площадь прямоугольника Пятачка оказаться больше площади прямоугольника Винни-Пуха?

5.

a)

Докажите, что квадрат можно разрезать на 6 меньших квадратов (не обязательно равных).

b)

Докажите, что квадрат можно разрезать на 4 квадрата и любое число квадратов, большее 5.

c)

Докажите, что квадрат нельзя разрезать меньше, чем на 4 квадрата.

d)

Докажите, что на 5 квадратов разрезать тоже нельзя.

6.

За круглым столом сидело a) 15; b) 20 человек. Они хотят пересесть так, чтобы те, кто раньше сидел рядом, теперь сидели бы через два человека. Возможно ли это?

7.

Сколько существует n-значных чисел, состоящих лишь из цифр 1, 2, 3, в записи которых каждая из трех цифр встречается по крайней мере один раз?

8.

Дано 101 различное натуральное число. Известно, что среднее арифметическое любых десяти чисел — целое число. Докажите, что хотя бы одно из исходных чисел больше 1000.

9.

Как расположить на футбольном поле 6 футболистов, чтобы каждый из них имел возможность сделать прямолинейную передачу по земле ровно четырем другим?

10.

Все вы знаете, что такое доминошка : это два соединенных по стороне квадратика. Тримино — это три квадратика соединенных по стороне. Таких фигур уже две: и . А сколько существует a) тетрамино (фигура из 4 квадратов) и b) пентамино (из 5 квадратов)?