МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 1. Поделись улыбкою своей

1.

a)

К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

b)

К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получилось число, кратное 72.

2.

Помогите фее Февронье решить ребус: 3 × 1xy = z36

3.

А этот ребус Февронья долго не могла решить: АБ × ВГ = ДДЕЕ. А имеет ли он решение?

4.

Фея Федосья начала считать пальцы на своей руке от большого до мизинца, потом развернулась и продолжила счет (теперь большой стал девятым), потом опять развернулась. Так она считала до 2006. Выучившая математику Февронья сразу догадалась, на каком пальце закончился счет. А вы?

5.

Докажите, что сумма

87365999324522345 + 87365999324522346 +

+ 87365999324522347 + 87365999324522348 + 87365999324522349 +

+ 87365999324522350 + 87365999324522351

делится на 7 и на 87365999324522348.

6.

На какую цифру заканчиваются числа a) 2¹⁰⁰ b) 777⁷⁷⁷ c) 7⁷⁷?

7.

Отметьте на числовой оси все натуральные числа, которые при делении на 7 дают остаток 2. (Нарисуйте отрезок числовой оси от −20 до +20).

8.

Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 528?

9.

Федосья заметила, что если к любому трёхзначному числу приписать все его цифры в обратном порядке, то получится число, кратное 11. Например, 120021=11·10911. Докажите это! Останется ли свойство верным для четырёхзначных чисел?

10.

Докажите, что если a и 5a имеют одинаковую сумму цифр, то a делится на 9.