МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 15. Плоскость, площадь и объём

1.

Разрежьте квадрат на пять треугольников так, чтобы площадь одного из этих треугольников равнялась сумме площадей оставшихся.

2.

Население Китая превышает один миллиард человек. Казалось бы, на карте Китая с масштабом 1 : 1000000 (в 1 см 10 км) сможет поместиться в миллион раз меньше людей, чем находится на всей территории страны. Однако на самом деле не только 1000, но даже 100 человек не смогут разместиться на этой карте. Можете ли Вы объяснить это противоречие?

3.

Чему равна площадь треугольника со сторонами 18, 17, 35?

4.

На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4 × 4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) площадью 6 клеток.

5.

На кафтане площадью 1 размещены 5 заплат, площадь каждой из которых не меньше ¹/₂. Докажите, что найдутся две заплаты, площадь общей части которых не меньше ¹/₅.

6.

На день рождения Олегу подарили набор равных треугольников со сторонами 3, 4 и 5 см. Олег взял все эти треугольники и сложил из них квадрат. Докажите, что треугольников было четное количество.

7.

Нарисовать на плоскости точки (x,y), для которых

a)

x = y;

b)

x > y;

c)

x = 1;

d)

xy = 0;

e)

x + y = 0;

f)

x + y = 1;

g)

x² = y²;

h)

|x| = |y|;

i)

|x − 1| ≤ ¹/₃;

j)

x² + y² = 0;

k)

y = 2x;

l)

x² + y² = 2xy;

m)

max(x,y) = 2;

n)

max(x,y) < 2;

o)

точка 1 лежит на числовой оси между точками x и y;

p)

(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0 ;

q)

(x − y)( x+ y)(y − 2x) ≥ 0 ;

r)

x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0;

s)

x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0.

8.

Две вершины квадрата имеют координаты (5,0) и (0,2). Каковы координаты двух остальных вершин?

9.

Вершины треугольника имеют координаты (0,0), (3,5) и (5,8). Найдите его площадь.

10.

Точку с координатами (x,y) повернули на 90^o против часовой стрелки вокруг начала координат (точки с координатами (0,0)). Найдите координаты получивщейся точки.

11.

Точку с координатами (x,y) отразили симетрично относительно оси OX, OY и относительно прямой x = y. Напишите координаты трёх новых точек.