МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2006/2007 учебный год

Листок 18. Задачи на смекалку

1.
При каких натуральных n выполнено неравенство 2n≥ n²?
2.
Сколько различных календарей нужно напечатать, чтобы из них можно было наверняка выбрать календарь на любой год?
3.
Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел быть a) квадратом; b) кубом натурального числа?
4.
На доске записана дробь 10/97. Разрешается прибавлять к числителю и знаменателю одно и то же число или умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. Можно ли в результате нескольких таких действий получить дробь, равную a) 1/2; b) 1/1?
5.
Прямоугольник разрезали шестью вертикальными и щестью горизонтальными разрезами на 49 прямоугольников. Оказалось, что периметр каждого из полученных прямоугольников — целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника — целое число метров?
6.
С помощью карандаша и линейки нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого в 5 раз больше площади одной клетки.
7.
«Крокодилом» называется шахматная фигура, за ход сдвигающаяся на n клеток в любом направлении (по горизонтали или вертикали), после чего смещающаяся на одну клетку в перпендикулярном направлении. (При n=2, крокодил — это обычный конь). Покажите, что при четных n на достаточно большой доске крокодил за некоторое количество шагов может попасть на клетку, соседнюю с исходной.
8.
На столе лежат несколько одинаковых бумажных листов прямоугольной формы, причём верхний лист покрывает больше половины площади каждого из остальных листов. Можно ли воткнуть булавку так, чтобы она проколола все листы?
9.
В стране Фалкерсонии некоторые города соединены авиалиниями, причем из города А в город B нельзя попасть, сделав менее десяти пересадок. Докажите, что все авиалинии можно распродать 11 авиакомпаниям таким образом, что любой маршрут из A в B будет проходить по линиям, принадлежащим всем 11 компаниям.
10.
Вася загадал три натуральных числа x, y и z. Петя может назвать любые три числа a, b, c и спросить, чему равна сумма ax + by + cz. Какое наименьшее количество вопросов необходимо Пете, чтобы узнать задуманные Васей числа?