МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 10. Что наша жизнь?

0.

Двое играют в шахматы, но за один раз делают сразу два хода. Докажите, что при такой игре у белых есть беспроигрышная стратегия.

1.

У мышек Норушки и Петрушки есть ромашка с a) 12 лепестками, b) 13 лепестками. Они по очереди отрывают либо один лепесток, либо два рядом растущих, причем начинает Норушка. У какой мышки есть выигрышная стратегия, и как она должна играть?

2.

В левом нижнем углу шахматной доски находится a) ладья, b) король. Два игрока по очереди ходят этой фигурой, при этом её разрешается перемещать только вверх, вправо и (для короля) по диагонали вверх-вправо. Выигрывает тот, кто поставит фигуру в правый верхний угол. У кого из игроков есть выигрышная стратегия, и как он должен играть?

3.

Имеется две кучки спичек по 7 штук в каждой. За один ход можно взять одну спичку из той или иной кучки, либо взять по одной спичке из каждой. Кто из игроков выигрывает при правильной игре, и как он должен играть?

4.

На окружности отмечено N точек. Петров и Васечкин по очереди соединяют любые две из них отрезком, так, чтобы он не пересекал ранее проведённые отрезки (разрешается, чтобы два отрезка имели общий конец). Начинает Петров. Выигрывает тот из них, после хода которого соединять больше нечего.

a)

Докажите, что если N четно, то у Петрова есть выигрышная стратегия.

b*)

Докажите, что при любом N≥2 и при любой игре Петрова и Васечкина первый обречён на победу.

5.

Для игры «Щёлк» требуется квадратная шоколадка. За ход разрешается съесть произвольную дольку и все находящиеся слева и сверху от неё. Проигрывает тот, кто съедает правую нижнюю дольку.

a) Укажите выигрышную стратегию для первого игрока, если размер шоколадки 8×8. b) Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия при любом размере шоколадки (разумеется, кроме 1×1).

6.

На доске выписаны все натуральные числа от 1 до 777. За один ход можно стереть любое число со всеми его еще нестертыми делителями. Выигрывает тот, кто сотрет последнее число. Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия.

7.

Игра начинается с числа 2. За один ход к имеющемуся на данный момент числу можно прибавить любой его делитель, кроме самого этого числа, но нельзя, чтобы при этом получился результат больше M. Выигрывает тот, кто первым получит число M. Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия при

a)

M = 2005;

b*)

M = 2006.

8.

На шахматной доске кошка охотится на мышку. За один ход можно и нужно переместиться на любую соседнюю по стороне клетку. Первой ходит мышка. Кошка поймает мышку, если окажется с ней на одной клетке. Сможет ли кошка поймать мышку, если изначально

a) кошка на F5, а мышка на C4, b) кошка на F6, а мышка на D3?

9.

Докажите, что в игре «крестики-нолики» на бесконечном клетчатом поле до пяти в ряд у крестиков есть беспроигрышная стратегия.