МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководители Екатерина и Евгений Адищевы
2006/2007 учебный год

Листок 2. Комбинаторика

0.
В школе 350 учеников. Из них 200 занимаются в математическом кружке, 110 — в химическом и 100 ребят не посещают эти кружки. Сколько химиков увлекается математикой?
1.
У двух начинающих коллекционеров по 200 марок и по 105 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?
2.
В цветике-семицветике 7 лепестков разного цвета. Сколько различных цветиков-семицветиков существует?
3.
Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из следующих значений: 4, 5, 6, 7 см?
4.
Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?
5.
Доказать, что 3n!/6n n! — натуральное число при любом натуральном n.
6.
На окружности отмечены 48 красных и 74 синих точек. Рассмотрим всевозможные отрезки (хорды) с концами в отмеченных точках. У скольких отрезков концы a) разного цвета; b) одинакового цвета?
7.
Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трех юношей?
8.
Город Феди Иванова — квадратный и имеет размеры 6×8 км. Дом находится в юго-западном углу, а школа — в северо-восточном. Сколькими способами может Федя добраться до школы, делая шаг величиной в 1 км, если двигаться разрешено только в точности на север или на восток?
9.
Как двум братьям поделить между собой пачку мороженого так, чтобы ни один из них не мог обвинять другого в том, что ему досталось меньше половины всего мороженого. (Чтобы каждый имел возможность получить не меньше половины.)
10.
Сколькими способами можно переставить буквы слова «перешеек», чтобы 4 буквы «е» не шли подряд?
11.
В Москве 7 высотных зданий. Если смотреть на них издалека, они в каком-то порядке располагаются на линии горизонта. Если смотреть из разных точек, будут разные способы расстановки. Турист едет по московской кольцевой автодороге и постоянно смотрит на высотки. Увидит ли он все возможные расстановки высоток, когда завершит круг?