МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 22. Математический футбол

бросок 1

1.

Ближний. На витрине магазина «Все для чая» лежат чашки, блюдца и чайные ложки: всего 20 предметов. Чашек в шесть раз больше, чем блюдец, а чайных ложек меньше, чем чашек. Сколько на витрине чайных ложек?

1.

Дальний. В магазине «Все для чая» продаются 12 тарелок и 10 чашек. Сколькими способами можно составить из них сервиз, если в нем должно быть пять предметов и не более трех чашек?

бросок 2

2.

Ближний. Найдите геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

2.

Дальний. Может ли конь пройти с поля a1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

бросок 3

3.

Ближний. Продавец в магазине «Все для чая» говорит: позавчера мне еще было 20 лет, а в следующем году мне исполнится 23. Может ли такое быть?

3.

Дальний. В магазине «Все для чая» продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

бросок 4

4.

Ближний. Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

4.

Дальний. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску две ладьи так, чтобы они не били друг друга.

бросок 5

5.

Ближний. Катя и ее друзья расселись за круглым столом, чтобы выпить чайку из магазина «Все для чая». Оказалось, что рядом с каждым сидят либо два мальчика, либо две девочки. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?

5.

Дальний. Каково наименьшее натуральное число n, такое, что n! делится на 990? Напомним, что число n! это произведение всех чисел от 1 до n.

бросок 6

6.

Ближний. Улитка ползет вверх по витрине магазина «Всё для чая», начав путь от её основания. Каждый день она проползает вверх на 5 см, а за каждую ночь соскальзывает вниз на 4 см. Когда она достигнет верха витрины, если её высота равна 75 см?

6.

Дальний. На складе в магазине «Все для чая» стоят несколько коробок с чашками. В некоторых коробках лежит больше 50 чашек — такие коробки считаются переполненными. Что больше — процент переполненных коробок или процент чашек, которые лежат в переполненных коробках?

бросок 7

7.

Ближний. На квадратном столе расставлены 25 одинаковых чашек из магазина «Все для чая», причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что хотя бы одна из чашек расположена на диагонали.

7.

Дальний. Докажите, что n³ + 2n делится на 3 для любого натурального n.

бросок 8

8.

Ближний. В магазине «Все для чая» живет кот, который всегда чихает перед дождем. Сегодня он чихнул. «Значит, будет дождь» — подумал продавец. Прав ли он?

8.

Дальний. Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство НОД(a, b)·НОК(a, b) = ab.

бросок 9

9.

Ближний. На полке в магазине «Все для чая» стоят чашки пяти различных цветов. Какое наименьшее число чашек нужно вслепую взять с полки, чтобы среди них обязательно оказались хотя бы две одного цвета?

9.

Дальний. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

бросок 10

10.

Ближний. В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?

10.

Дальний. Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число, меньшее его. Выигрывает тот, кто получит 1000. Есть ли у кого-то из игроков выиграшная стратегия (если да, то какая)?

бросок 11

11.

Ближний. Докажите, что натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда его остаток от деления на 100 делится на 4.

11.

Дальний. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой единиц и цифрой десятков вставить ноль.

бросок 12

12.

Ближний. Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в классе, в котором учатся 30 человек? (Участники команды равноправны)

12.

Дальний. Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами 19 × 91?