МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 4. Как в аптеке

1.

Ваня и Яша нашли в поле кошелёк с девятью монетами и запиской: «Одна из этих монет фальшивая! Она легче остальных». Братья решили настоящие монеты поделить поровну, а фальшивую — выбросить. Дома нашлись только чашечные весы. Можно ли найти фальшивую монету всего за 2 взвешивания на чашечных весах?

2.

Сколько бы потребовалось взвешиваний, если бы в кошельке была 21 монета? А 203 монеты?

3.

Среди 101 одинаковой по виду монеты есть одна фальшивая, отличающаяся от настоящей по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? (Hаходить фальшивую монету не требуется.)

4.

В ряд лежат 1023 апельсина, упорядоченные по весу от самого легкого до самого тяжелого. Сколько нужно сделать взвешиваний, чтобы добавить в ряд 1024-й апельсин так, чтобы апельсины снова оказались упорядоченными? Для взвешивания можно использовать только чашечные весы.

5.

Имеется 50 мешков с монетами. В 49 мешках монеты настоящие, а в одном — фальшивые. Известно, что настоящая монета весит 10 г, а фальшивая — 11 г. Одним взвешиванием на электронных весах (они показывает точное число граммов взвешиваемого предмета) определите, в каком мешке фальшивые монеты.

6.

Монеты достоинством 1, 2, 3 и 5 тугричка весят, соответственно, 1, 2, 3 и 5 граммиков. Среди четырех монет разного достоинства есть фальшивая, отличающаяся весом от обычной. Как за два взвешивания найти фальшивую монету?

7.

Нужно расфасовать 20 фунтов чая в 10 коробок, по 2 фунта в каждой. Как это можно сделать всего за девять взвешиваний, имея только две гири весом 5 и 9 фунтов?

8.

Можно ли с помощью четырёх гирь взвесить любое целое число килограммов от 1 до 40, если a) гири можно класть только на одну чашу чашечных весов; b) гири можно класть на обе чаши весов? Если да, то укажите, какие гири нужно взять.

9.

Есть сломанные чашечные весы (про весы известно только одно: чтобы уравновесить более тяжёлый груз, понадобится более тяжёлая гиря) и набор гирек. Как можно с помощью этих весов отмерить из мешка 2 килограмма муки?

10.

(Продолжение задачи 2). В кошельке m монет, одна из которых — фальшивая. Найдём число k, такое что 3^{k − 1} < m < 3^k. Сколько взвешиваний понадобится братьям для нахождения фальшивой монеты в этом случае?

11.

Есть 12 золотых монет, среди которых одна фальшивая. Легче или тяжелее фальшивая монета — неизвестно. Как найти фальшивую монету всего за 3 взвешивания на чашечных весах?