МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 11. Весёлая геометрия

1.

Можно ли испечь такой торт, который может быть разделён одним прямолинейным разрезом на 4 части?

2.

Ковёр-самолёт будет летать только тогда, когда он имеет прямоугольную форму. У Ивана-царевича был ковёр-самолёт размером 9×12 м. Как-то раз Змей Горыныч подкрался и отрезал от этого ковра маленький коврик размером 1×8 м. Иван-царевич очень расстроился и хотел было отрезать ещё кусочек 1×4 м, чтобы получился прямоугольник 8×12 м, но Василиса Премудрая предложила поступить по-другому. Она разрезала ковёр на три части, из которых волшебными нитками сшила квадратный ковёр-самолёт размером 10×10 м. Как она это сделала?

3.

Легко можно разрезать квадрат на два равных треугольника или два равных четырехугольника. А как разрезать квадрат на два равных невыпуклых a) пятиугольника; b) шестиугольника?

4.

Можно ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы каждая часть соприкасалась (т. е. имела общие участки границы) с тремя другими?

5.

На мачте пиратского корабля развевается двухцветный прямоугольный флаг, состоящий из чередующихся чёрных и белых вертикальных полос одинаковой ширины. Общее число полос равно числу пленных, находящихся в данный момент на корабле. Сначала на корабле было 12 пленных, а на флаге — 12 полос; затем два пленных сбежали. Как разрезать флаг на две части, а затем сшить их, чтобы площадь флага и ширина полос не изменились, а число полос стало равным 10?

6.

Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком. Вершины верхнего листка лежат на сторонах нижнего листка. Четвёртая вершина нижнего листка не видна — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки, естественно, равны между собой. Какая часть нижнего листка больше — закрытая или открытая?

7.

Нарисуйте многоугольник (не обязательно выпуклый), который нельзя разделить на две фигуры одинаковой площади с помощью одного прямолинейного разреза.

8.

В комнате очень необычной формы стоит свеча, так что ни одна из сторон комнаты не освещена полностью. Нарисуйте эту комнату.