МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 17. Кратчайший путь

1.

Два человека бегут с одинаковой скоростью по лентам эскалатора. Один из них бежит по ленте, которая движется вверх — вначале он по ней спустился (против хода), а потом поднялся обратно наверх. Другой проделал то же самое на остановившемся эскалаторе. Оба при это считают ступеньки. Насчитают ли они одинаковое число ступенек, или кто-то один (кто?) насчитает больше?

2.

Две лодки плывут навстречу друг другу по реке. Сначала расстояние между ними было 1 км. Скорость лодок одинакова и вдвое превосходит скорость течения. Где эти лодки встретятся?

3.

Путнику необходимо пересечь пустыню. Пустыня имеет форму квадрата со стороной 10 км, и путник должен попасть из одного угла (северо-западного) в противоположный (юго-восточный). В пустыне расположены два оазиса: один из них в 5 км восточнее путника и в 3 км южнее, другой также в 5 км восточнее, но в 7 км южнее. После посещения оазиса, путник идет вдвое быстрее, чем до этого (но повоторное посещение оазиса уже ничего не даст). Выберите для него такой маршрут, по которому он достигнет своей цели быстрее всего.

4.

На дереве сидит ворона, на высоте 3 м над землей. Ей нужно перелететь на забор, который находится в 6 метрах перед деревом и имеет высоту 1.5 метра. Но на земле, по всему пространству между деревом и забором, рассыпано зерно, и ворона обязательно хочет приземлиться по пути и склюнуть хотя бы одно зернышко. Как она полетит, если будет выбирать кратчайший путь?

5.

Паук сидит в центре одной из граней куба, а в середине одного из перепендикулярных этой грани ребер сидит муха. Каким будет кратчайший путь, по которому паук сможет добраться до мухи, если муха не двигается с места, а паук может перемащаться только по поверхности куба?

6.

А как быть пауку, если они с мухой сидят в диагонально-противоположных вершинах куба? Каким будет в этом случае кратчайший путь и будет ли он единственен?

7.

Две деревни находятся по разные стороны реки, на некотором расстоянии от берегов. Где нужно построить мост, чтобы путь из одной деревни в другую был как можно короче (берега реки параллельны, а мост должен быть перпендикулярен к ним)?

8.

Две автобусные остановки расположены в 2 км одна от другой. Путник находится на дороге между ними, и ему необходимо добраться до поселка, расстояние от которого до одной из остановок 10 км, а до другой, соответственно, 12 км. Автобус едет со скоростью 50 км/ч, а путник идет со скоростью 5 км/ч. Где должен находиться путник, чтобы ему было все равно, к какой из остановок идти (предполагается, что, как только путник приходит на остановку, он сразу же садится в автобус)?

9.

На одном острове построили однополосную кольцевую автодорогу так, что ехать по ней можно только по часовой стрелке. По дороге расположены девять поселков, как показано на рисунке, в которых стоят автозаправочные станции с ограниченным количеством бензина. В каком поселке нужно купить автомобиль с пустым баком, чтобы суметь проехать по всей автодороге? Расход бензина — 4 литра на 100 километров.