МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Листок 14. Инварианты

1.

На доске написаны натуральные числа от 1 до 2007. Карлсон занимается тем, что каждую секунду стирает с доски какие-то два числа и пишет их разность. В конце концов у него осталось одно число. Могла ли это быть единица?

2.

Круг разделен на 6 секторов (см. рис.), в которых по порядку написаны числа от 1 до 6. За один ход разрешается добавить по единице к двум соседним числам. Можно ли через некоторое число шагов получить во всех секторах одинаковые числа?

3.

Из шахматной доски вырезали центральный квадратик 2×2. Можно ли оставшуюся фигуру замостить фигурками тетрамино, используя каждую из пяти одинаковое число раз?

4.

Фишки выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке, если всего их a) 2006; b) 2007.

5.

На столе рубашкой вниз лежит игральная карта. Можно ли, перекатывая ее по столу через ребро, добиться того, чтобы она оказалась на прежнем месте, но a) рубашкой вверх; b) рубашкой вниз и вверх ногами?

6.

В стране несколько городов, попарные расстояния между которыми различны. Путешественник отправился из города А в самый удаленный от него город Б, оттуда — в самый удаленный от него город С и т. д. Докажите, что если С не совпадает с А, то путешественник никогда не вернется в А.

7.

На доске написаны числа 1, 2, 3, … 19, 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и вместо них написать число a + b − 1. Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

8.

Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять металлический рубль на 26 монет?

9.

В каждой вершине куба стоит число +1 или −1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани. Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

10.

В центре каждой клетки шахматной доски стоит по фишке. Фишки переставили так, что попарные расстояния между ними не уменьшились. Докажите, что в действительности попарные расстояния не изменились.

11.

В колоде часть карт лежит «рубашкой вниз». Время от времени Петя вынимает из колоды пачку из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат «рубашкой вниз», переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет её в то же место колоды. Докажите, что в конце концов все карты лягут «рубашкой вверх», как бы ни действовал Петя.

12.

От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны; от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д. В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?