МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

а) Придумайте тройку различных натуральных чисел m, n и k, для которых

m! = n!· k!

(через x! обозначают произведение всех натуральных чисел от 1 до x; например, 4! = 24).

б) Можно ли придумать 2003 таких троек?
 

Радиоуправляемая игрушка выезжает из некоторой точки. Она движется по прямой, а по команде может поворачивать налево ровно на 17° (относительно прежнего направления движения). Какое наименьшее число команд необходимо, чтобы игрушка вновь прошла через точку старта?
 

Даны две несократимые дроби. Знаменатель первой дроби равен 4, знаменатель второй дроби равен 6. Чему может равняться знаменатель произведения этих дробей, если произведение представить в виде несократимой дроби?
 

В скачках участвуют три лошади. Игрок может поставить некоторую сумму денег на каждую лошадь. На первую лошадь ставки принимают в соотношении 1 : 4. Это означает, что если первая лошадь выигрывает, то игрок получает назад деньги, поставленные на эту лошадь, и ещё четыре раза по столько же. На вторую лошадь ставки принимают в соотношении 1 : 3, на третью — 1 : 1. Деньги, поставленные на проигравшую лошадь, не возвращают. Можно ли поставить так, чтобы выиграть при любом исходе скачек?
 

Пять человек, живущие в разных городах, получили зарплату, одни больше, другие меньше: 143, 233, 313, 410 и 413 рублей. Каждый из них может послать деньги другому по почте. При этом почта берёт за перевод 10% пересылаемой суммы денег (чтобы пришло 100 рублей, надо уплатить 110 рублей). Они хотят переслать деньги так, чтобы у всех оказалось поровну количество денег, а почта получила как можно меньше. Сколько получит почта при самом экономном способе пересылки?
 

Куб размером 3×3×3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с ним общую грань, причём запрещено ходить два раза подряд в одном направлении?