МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 8. Числа простые и составные

Определение. Натуральное число называют простым, если оно больше числа 1 и делится только на себя и на 1, и составным, если у него есть и другие натуральные делители.

1.	Выпишите первые 20 простых чисел.
2.	а) Придумайте пять последовательных натуральных чисел, каждое из которых является составным. б) Для любого ли натурального n существуют n последовательных составных чисел?
3.	а) Существует ли такое простое число p, что числа p – 2 и p + 2 тоже простые? б) Сколько существует таких простых чисел p?
4.	Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 есть простое число или 1.
5.	Вовочка утверждает, что для любого натурального n число n² + n + 41 простое. Прав ли он?
6.	Докажите, что все числа вида n⁴ + 4, где n = 2, 3, 4, 5, ...,— составные.
7.	Докажите теорему Евклида: простых чисел бесконечно много.
8.	Есть семь натуральных чисел. Сумма любых шести из них делится на 5. Верно ли, что каждое из них делится на 5?
9.	Что больше: а) 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰; б) 200! или 100²⁰⁰?
10.	Сегодняшнюю дату можно записать в виде 07.12.02. Для какой ближайшей из будущих дат запись указанного вида состоит из шести различных цифр?